Thèse Tenseurs des Overlaps Généralisés pour des Modèles Intégrables de Matrices Aléatoires Non-Hermitiennes H/F - Doctorat_Gouv

Établissement : Institut Polytechnique de Paris École polytechnique
École doctorale : Mathématiques Hadamard
Laboratoire de recherche : CMLS - Centre de mathématiques Laurent Schwartz
Direction de la thèse : Guillaume DUBACH ORCID 0000000168928137
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-06-30T23:59:59

Ce projet de thèse concerne l'étude de tenseurs aléatoires naturellement associés à une matrice: les tenseurs des overlaps généralisés entre vecteurs propres. Il s'agit d'en étudier la distribution dans des ensembles intégrables de matrices aléatoires non-hermitiennes.

Les matrices aléatoires sont des objets mathématiques omniprésents, susceptibles de nombreuses applications, et dont la structure se prête à une étude théorique d'une grande richesse. Cette intuition, qui était dès les années 50-60 celle de physiciens tels qu'Eugène Wigner ou Freeman Dyson, ne s'est pas démentie depuis. Ces vingt dernières années, les mathématiciens se sont emparés de ce sujet, souvent en dialogue avec d'autres domaines des mathématiques ou d'autres sciences comme la physique, les neurosciences, et désormais l'étude de l'intelligence artificielle. À ce jour, les défis les plus ambitieux qui demeurent à relever concernent d'une part les modèles non-hermitiens, c'est-à-dire des matrices aléatoires génériques, sans symétrie particulière, et d'autre part les tenseurs aléatoires, objets plus généraux que les matrices et dont l'étude est particulièrement technique.

L'organisation de cette thèse se ferait selon un plan en trois parties. Une première étape sera de se familiariser avec différents ensembles intégrables de matrices aléatoires (ensembles de Ginibre, ensemble sphérique, ensembles unitaires tronqués...) et d'étudier la distribution des coefficients non-diagonaux de leur matrice des overlaps (cas d=1). Une seconde étape consisterait à reformuler et systématiser le travail pionnier de Crawford et Rosenthal afin d'en généraliser les résultats à de nouveaux ensembles intégrables de matrices aléatoires. La troisième étape, et l'aboutissement de ce projet, sera d'identifier quels aspects mesurables des tenseurs aléatoires sont ici les plus fondamentaux, et ce que l'on peut dire de leur distribution, au moins dans le cas emblématique des matrices gaussiennes, et peut-être au-delà.

Une bonne maîtrise de l'algèbre linéaire, de la théorie de la mesure et des probabilités.