Thèse Généralisation des Modèles Ssep et Tasep sur le Tore Continu H/F - Université Clermont Auvergne

Établissement : Université Clermont Auvergne
École doctorale : Sciences Fondamentales
Laboratoire de recherche : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal
Direction de la thèse : Manon MICHEL ORCID 0000000288375856
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-05-25T23:59:59

Les modèles de gaz sur réseau occupent une place centrale en mécanique statistique hors équilibre. Parmi eux, le Simple Exclusion Process (SSEP) et le (Totally) Asymmetric Simple Exclusion Process ((T)ASEP) constituent des modèles canoniques pour l'étude du transport, des courants hors équilibre et des phénomènes collectifs induits par les interactions d'exclusion [1-3]. Définis sur un tore discret, ces processus décrivent des particules effectuant des sauts aléatoires sur un réseau, sous la contrainte qu'un site ne peut être occupé que par une seule particule. Dans le SEP, les sauts sont symétriques, tandis que le TASEP impose une orientation privilégiée, brisant explicitement la réversibilité et générant des courants stationnaires non nuls.

Ces modèles ont servi de bancs d'essai majeurs pour le développement de la théorie des limites hydrodynamiques, reliant la dynamique microscopique à des équations aux dérivées partielles macroscopiques [1, 4]. Ils constituent un cadre privilégié pour l'étude des fluctuations, des grandes déviations et des transitions dynamiques, avec des liens profonds vers les théories de type KPZ [5, 6].
Une question pourtant largement inexplorée consiste à considérer des analogues continus de ces modèles: remplacer le réseau discret par un tore continu, et autoriser chaque particule à évoluer dans l'espace continu, tout en conservant une contrainte d'exclusion dure et une dynamique de sauts ou de transports persistants. Autrement dit, il s'agit de définir des variantes continues du SSEP et du (T)ASEP, où les positions des particules prennent des valeurs continues, mais où l'interaction d'exclusion demeure le mécanisme structurant de la dynamique.

Cette généralisation ouvre un champ de questions nouvelles, dont notamment celle de l'existence et de la forme des limites hydrodynamiques : quelles équations macroscopiques émergent lorsque le nombre de particules tend vers l'infini ? Observe-t-on des équations de diffusion ou de transport analogues à celles du SSEP/TASEP discret, ou bien des régimes fondamentalement nouveaux liés à la persistance du mouvement et aux interactions géométriques continues ?

Ces interrogations s'inscrivent dans le prolongement de développements récents en physique statistique hors équilibre, qui ont mis en lumière l'intérêt de modèles de particules en espace continu soumis à des dynamiques non réversibles et à des contraintes d'exclusion ou de répulsion dures. D'un point de vue mathématique, ces dynamiques sont naturellement décrites par des processus déterministes par morceaux (PDMP) [7, 8], qui fournissent un formalisme unifié pour modéliser des transports persistants en espace continu, ponctués d'événements aléatoires tels que des réorientations, des collisions ou des mécanismes d'exclusion. Des avancées récentes ont permis d'établir des propriétés fines de ces processus, telles que la convergence vers l'équilibre [9], des inégalités fonctionnelles [10] et des comportements hors équilibre [11,12], y compris dans des contextes fortement interactifs.

Cette ligne de recherche pourrait ainsi constituer un chaînon manquant entre deux cadres jusqu'ici développés séparément : les gaz sur réseau, emblématiques de la mécanique statistique hors équilibre discrète [13], et les dynamiques microscopiques de type PDMP, qui décrivent des transports persistants en espace continu. Elle ambitionne ainsi de faire le lien entre modèles d'exclusion discrets, dynamiques continues persistantes et descriptions macroscopiques exactes des systèmes hors équilibre.

Nous souhaitons aborder ces questions dans le cadre d'un projet de thèse encadré par Marielle Simon (I2M), Arnaud Guillin et Manon Michel (LMBP, Clermont Ferrand). Des échanges récents entre les trois co-encadrants ont pu permettre d'établir une base solide à la mise en oeuvre de ce projet.

Le projet de doctorat s'insèrera dans la collaboration entre :
Arnaud Guillin (LMBP, Université Clermont Auvergne), https://lmbp.uca.fr/~guillin/,
Manon Michel (LMBP, Université Clermont Auvergne), https://manon-michel.perso.math.cnrs.fr/,
Marielle Simon (2M, Aix-Marseille Université), https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/marielle.simon/.

Nous recherchons un(e) candidat(e) motivé(e) ayant une formation en probabilités.