Thèse Algorithmes Inertiels Discrets pour les Problèmes Inverses une Approche par la Théorie des Opérateurs H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université de Limoges École doctorale : Sciences et Ingénierie Laboratoire de recherche : XLIM Direction de la thèse : Samir ADLY ORCID 0000000243750106 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-08T23:59:59 Les problèmes inverses consistent à reconstruire un signal, une image ou un paramètre inconnu à partir de données indirectes, partielles et bruitées. Ils interviennent dans de nombreux domaines, en particulier en imagerie, en traitement du signal et plus largement en sciences des données. Leur résolution nécessite à la fois des modèles mathématiques adaptés et des algorithmes numériques stables et efficaces.

Dans ce contexte, la thèse se situe à l'interface de l'optimisation, de l'analyse variationnelle et de la théorie des opérateurs monotones. Ce cadre mathématique permet de modéliser une large classe de problèmes inverses et de justifier des méthodes algorithmiques robustes, en particulier les méthodes de décomposition de type splitting, bien adaptées aux problèmes de grande dimension. Toutefois, ces méthodes peuvent rester limitées en pratique par une convergence parfois trop lente.

L'objectif principal de la thèse est de développer de nouveaux algorithmes inertiels discrets pour les problèmes inverses, en s'appuyant sur une approche par la théorie des opérateurs. Les méthodes inertiales introduisent des effets de mémoire ou de momentum destinés à accélérer les itérations, tout en conservant un cadre mathématique rigoureux. Des résultats récents ont montré l'intérêt de telles approches pour des problèmes structurés, mais de nombreuses questions restent ouvertes au niveau discret, notamment pour les méthodes de type splitting et pour les applications en grande dimension.

Le travail de thèse portera d'abord sur la conception de nouveaux schémas inertiels adaptés à la structure des problèmes inverses. Il visera ensuite à établir leurs propriétés théoriques : convergence, stabilité, robustesse aux perturbations, et influence des paramètres algorithmiques. Une attention particulière sera accordée à la construction d'outils d'analyse permettant de comprendre finement le comportement des méthodes proposées et d'en dégager des principes de réglage explicites.

Au-delà de l'aspect théorique, la thèse comportera également une dimension algorithmique et numérique. Les méthodes développées auront vocation à être testées sur des problèmes inverses représentatifs en imagerie, afin d'évaluer leur efficacité pratique, leur robustesse et leur intérêt par rapport aux approches existantes.

Ce projet de thèse a ainsi pour ambition de renforcer les fondements mathématiques des méthodes accélérées pour les problèmes inverses, tout en proposant de nouveaux outils algorithmiques adaptés aux enjeux actuels des applications en imagerie et en traitement des données. Les problèmes inverses consistent à reconstruire une information inconnue à partir de données indirectes, partielles et bruitées. Ils occupent une place centrale dans de nombreuses applications, notamment en imagerie, en traitement du signal et plus généralement en sciences des données. Leur résolution repose sur des modèles mathématiques adaptés ainsi que sur des algorithmes numériques capables d'allier stabilité, robustesse et efficacité.

Un cadre particulièrement puissant pour l'étude de ces problèmes est fourni par l'optimisation, l'analyse variationnelle et la théorie des opérateurs monotones. Ce cadre permet de modéliser une large classe de problèmes inverses structurés et conduit à des méthodes de décomposition de type splitting, bien adaptées aux problèmes de grande dimension. Ces méthodes bénéficient de fondements théoriques solides, mais leur vitesse de convergence peut rester insuffisante dans certaines situations pratiques.

Dans ce contexte, les méthodes inertielles constituent une voie prometteuse pour accélérer les algorithmes itératifs. Inspirées de dynamiques accélérées, elles introduisent des effets de mémoire ou de momentum susceptibles d'améliorer significativement les performances numériques. Des avancées récentes ont confirmé l'intérêt de ces approches dans divers cadres d'optimisation et d'inclusions monotones, mais de nombreuses questions restent ouvertes pour les schémas discrets réellement utilisés en pratique, en particulier lorsqu'il s'agit de méthodes de splitting appliquées aux problèmes inverses.

La thèse s'inscrit dans ce contexte scientifique. Elle vise à développer une approche rigoureuse des algorithmes inertiels discrets pour les problèmes inverses, en s'appuyant sur un cadre opératoire permettant à la fois l'analyse mathématique des méthodes et la conception d'algorithmes efficaces pour des applications en imagerie. L'objectif principal de la thèse est de concevoir et d'analyser de nouveaux algorithmes inertiels discrets pour la résolution de problèmes inverses dans un cadre opératoire.

Plus précisément, il s'agira de :

- développer des méthodes de type splitting intégrant des mécanismes inertiels adaptés à la structure des problèmes ;
- établir des résultats de convergence, de stabilité et de robustesse des schémas proposés ;
- analyser l'influence des paramètres et proposer des règles de réglage explicites ;
- identifier des principes de conception transférables à différentes classes de problèmes inverses ;
- valider les méthodes sur des exemples représentatifs en imagerie.

Le candidat devra posséder une solide formation en mathématiques appliquées, notamment en optimisation, analyse convexe, analyse variationnelle ou théorie des opérateurs. Un goût marqué pour l'analyse mathématique et la rigueur des démonstrations est attendu.

Des compétences en calcul scientifique et en programmation (Python, Matlab ou équivalent) seront appréciées, ainsi qu'un intérêt pour les applications en problèmes inverses ou en imagerie.

Le candidat devra faire preuve d'autonomie, de motivation et de capacité à s'intégrer dans un environnement de recherche, avec de bonnes aptitudes à la communication scientifique, à l'écrit comme à l'oral.