Thèse Approximation d'Eds Singulières H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques École doctorale : Mathématiques Hadamard Laboratoire de recherche : LaMME - Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Evry Direction de la thèse : Ludovic GOUDENEGE ORCID 0000000264495888 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-06-30T23:59:59 Ce sujet de thèse porte sur l'analyse et l'approximation de systèmes stochastiques et déterministes fortement singuliers, avec un double objectif : donner un sens mathématique à des équations mal posées, et développer des méthodes numériques pour les approcher.

La première partie s'intéresse aux équations différentielles stochastiques (EDS) dont la dérive est très irrégulière (distribution de régularité négative). Dans ce cadre, l'équation n'a pas de sens classique et doit être reformulée via des outils avancés (processus de Dirichlet, analyse para-différentielle, rough paths). Un point clé est la régularisation par le bruit : l'ajout d'un bruit (brownien ou stable) permet de restaurer l'existence et l'unicité de solutions. L'objectif est d'étendre les résultats connus au-delà du régime de Young, en obtenant des estimations fines (type noyau de la chaleur) et en analysant des schémas numériques associés. Cette approche vise à utiliser l'approximation numérique non seulement comme outil de calcul, mais aussi comme moyen de définir les solutions.

La seconde partie concerne des systèmes couplés fluide-particules, modélisés par les équations de Vlasov-Navier-Stokes. Ces systèmes décrivent l'interaction entre un fluide et un grand nombre de particules en mouvement dont on étudie la limite en grand nombre de particules (limite de champ moyen) et de quantifier la convergence entre le système microscopique (particules) et le modèle macroscopique (EDP). Des résultats récents donnent des estimations quantitatives de cette convergence dont on cherche à écrire une approximation numérique. Un second enjeu est l'introduction d'interactions de type McKean-Vlasov avec des drifts singuliers dépendant de la loi des particules.

À plus long terme, l'objectif est d'étudier des systèmes couplés EDS/EDP très singuliers, où la régularisation par le bruit permettrait d'étendre les résultats d'existence et de convergence à des régimes où les méthodes classiques échouent, notamment pour des solutions faibles des équations de Navier-Stokes. Voir fichier PDF joint Approximation numérique d'équations différentielles stochastiques singulières

Diplôme de Master 2 ou d'école d'ingénieur
Analyse fonctionnelle (espaces de Banach/Hilbert, distributions)
Équations aux dérivées partielles (elliptiques, paraboliques)
Probabilités (processus stochastiques, diffusion, martingales)