Thèse Analyse Mathématique et Numériques pour le Contrôle des Ondes dans des Domaines Non Lipschitziens H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes École doctorale : Interfaces : matériaux, systèmes, usages Laboratoire de recherche : Mathématiques et Informatique pour la Complexité et les Systèmes - EA 4037 Direction de la thèse : Frédéric MAGOULÈS ORCID 0000000211987539 Début de la thèse : 2026-10-01 Date limite de candidature : 2026-09-30T23:59:59 On s'intéresse à la réduction du bruit acoustique dans un domaine borné. Ce type de problème est lié à l'optimisation des formes dans le cadre d'applications à des murs anti-bruits ou la fabrication de chambres anéchoïques. Ces applications montrent l'importance des irrégularités de la géométrie dans l'efficacité de l'absorption de l'énergie acoustique. D'un point de vue mathématique, le traitement de ces phénomènes avec des bords irréguliers posent encore beaucoup de questions telles que l'adaptation des méthodes numériques existantes, et les outils d'analyse fonctionnelle. Les modèles mathématiques décrivant les phénomènes scientifiques s'accompagnent généralement de simplifications géométriques : les formes réelles sont souvent modélisées par des domaines idéalisés aux contours lisses. Dans la théorie classique, on suppose généralement que les contours sont différentiables, souvent deux fois ou à l'infini. De telles formes sont considérées comme régulières en mathématiques pures et appliquées. Cependant, la nature est plus rugueuse. Les contours irréguliers, non différentiables, sont courants dans diverses géométries observées dans la nature, et parmi leurs modèles typiques figurent les contours fractals. L'une des frontières fractales les plus célèbres est constituée de courbes de Koch. Des structures de type Koch non auto-similaires apparaissent dans la nature, comme dans l'exemple bien connu du littoral britannique. Les frontières irrégulières semblent également naturelles pour modéliser des tumeurs cancéreuses ou d'autres tissus vivants. Par exemple, on sait que les aspects d'irrégularité sont caractéristiques des tumeurs cancéreuses. Ils fournissent, en outre, une importante vascularisation autour du tissu. Cette caractéristique permet de les considérer comme des objets dotés de frontières d'une « épaisseur » supérieure, et donc, mathématiquement, d'une dimension de frontière plus élevée. Il est donc nécessaire d'étudier des problèmes aux limites présentant des frontières de régularité variable, voire fractales. Les fractales modélisent naturellement des objets dotés d'une structure multi-échelle répétée jusqu'à une complexité infinie. Cela fait des frontières rugueuses, c'est-à-dire non-Lipschitziennes, considérées comme des interfaces entre deux milieux, les plus efficaces dans les échanges thermiques, optimales dans l'absorption des ondes et probablement les structures architecturales les plus stables sous charge. Récemment, il a été démontré que les bords lipschitziens ne sont pas capables a priori d'atteindre le minimum d'énergie acoustique dans le cadre des problèmes d'absorption aux limites et que ce minimum existe pour des formes non-Lipschitz plus irrégulières, éventuellement fractales. Des barrières antibruit efficaces basées sur le principe de l'échelonnage multiple sont brevetées (COLAS-Ecole Polytechnique). Le même principe est utilisé pour les chambres anéchoïques. Les formes à échelonnage multiple interagissent efficacement avec les différentes longueurs d'onde des ondes transmises par une source, et deviennent ainsi efficaces pour absorber le bruit dans une large bande de fréquences. étudier la théorie de contrôle des ondes, lié aux travaux de Bardos-Lebeau-Rauch sur des domaines irréguliers (non-Lipschitziens ou fractals).
approximation des intégrales par rapport aux mesures fractales
approximation discrète des intégrales
stabilization de la pollution et de la dispersion numérique
adaptation des estimations et des méthodes existantes en l'absence de la régularité H^2 des solutions faibles des problèmes elliptiques
convergence et stabilité des domaines
notions faibles au sens de distributions
adaptation des méthodes de résolutions numériques
convergence et stabilité des méthodes

Maîtrise de mathématique appliquées ou école d'ingénieur