Thèse Développement de Méthodes de Haute Résolution avec Contrôle d'Erreur pour la Simulation des Edp Évolutive Multi-Échelles en Temps et en Espace H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Institut Polytechnique de Paris École polytechnique École doctorale : Mathématiques Hadamard Laboratoire de recherche : CMAP - Centre de Mathématiques appliquées Direction de la thèse : Marc MASSOT ORCID 0000000188237667 Début de la thèse : 2026-11-09 Date limite de candidature : 2026-12-20T23:59:59 Les équations aux dérivées partielles de réaction-diffusion-convection raides, rencontrées notamment en combustion, font intervenir un très large spectre d'échelles de temps et d'espace, ce qui rend leur simulation précise coûteuse. Cette thèse vise à développer des intégrateurs en temps implicites-explicites (ImEx) de type Runge-Kutta à stabilité étendue, dans lesquels l'erreur de couplage entre opérateurs est analysée et contrôlée, comme alternative aux méthodes de séparation d'opérateurs. Ces intégrateurs seront ensuite combinés à l'adaptation dynamique de maillage par multirésolution, qui fournit un contrôle a priori de l'erreur en espace, dans les bibliothèques open-source samurai et ponio développées au CMAP. Un volet dédié de la thèse portera enfin sur le développement de schémas Galerkin discontinus d'ordre élevé et des multi-ondelettes associées, afin de permettre une adaptation hp (en pas d'espace et en ordre) avec contrôle d'erreur. Le travail s'inscrit dans le programme NumPEx (projet Exa-MA) et s'adresse à des applications en combustion, dont le risque hydrogène. Les équations aux dérivées partielles (EDP) de réaction-diffusion-convection permettent de modéliser une large gamme de phénomènes physiques faisant intervenir un spectre étendu d'échelles de temps et d'espace. C'est en particulier le cas en combustion [1], où les processus physiques interagissent simultanément à des échelles très différentes : des radicaux à très courte durée de vie sont produits lors de l'oxydation des hydrocarbures, alors que la formation des oxydes d'azote (NOx) fait intervenir des temps caractéristiques beaucoup plus longs. Dans les mélanges à faible nombre de Lewis (typiquement les mélanges contenant de l'hydrogène), des instabilités thermo-diffusives peuvent en outre se développer [2] et engendrer des structures spatiales fines, ce qui élargit encore la gamme d'échelles à résoudre. La simulation précise de ces systèmes multi-échelles, dits raides, à un coût de calcul raisonnable demeure un défi.
La thèse proposée s'inscrit dans un effort mené à l'interface entre mathématiques appliquées, mécanique des fluides réactifs et génie logiciel, avec pour objectif le développement d'une nouvelle génération de méthodes numériques pour la résolution d'EDP d'évolution multi-échelles en temps et en espace, et d'une nouvelle génération de codes de simulation open-source. Si la combustion, et en particulier la simulation du risque hydrogène menée en collaboration avec le CEA, constitue un cadre d'application idéal, d'autres domaines (génie biomédical, physique des plasmas, physique solaire, dynamique chimique non linéaire) mettent eux aussi en jeu des couplages multi-échelles entre convection, réaction et diffusion (voire avec le champ électrique) et requièrent des outils de ce type. L'objectif est d'étudier d'un point de vue mathématique une nouvelle génération d'intégrateurs en temps / espace et un ensemble de méthodes de simulation qui permettent de capturer les phénomènes physiques en contrôlant la résolution des échelles de temps et d'espace, mais aussi la résolution du couplage fin entre les différents opérateurs. La question scientifique centrale peut se formuler ainsi en deux axes articulés :
- comment construire des intégrateurs en temps et en espace adaptatifs avec contrôle d'erreur précis et plus efficace en coût de calcul que la séparation d'opérateurs et les ondelettes classiques ;
- comment les implémenter dans un code open-source qui passe à l'échelle sur des machines massivement parallèles et les utiliser dans un contexte applicatif du risque hydrogène et de la combustion.
L'objet de la thèse est focalisé sur le premier axe et son articulation avec le second passera par une collaboration avec une équipe d'ingénieurs experts en calcul qui développent les codes samurai et ponio.
A- De la séparation d'opérateurs aux méthodes ImEx

Nos travaux antérieurs reposaient sur une approche de séparation complète des opérateurs [3, 4, 5]. Cette approche est très efficace, mais l'erreur de séparation impose d'adapter le pas de temps pour garantir un couplage correct des opérateurs [3] ; elle peut en outre conduire à des réductions d'ordre et surtout mener à des pas de temps ridiculement petits lorsque les échelles de couplage entre opérateurs sont très fines. Séparer les opérateurs peut aussi mener à une mauvaise préservation des états stationnaires ou des difficultés avec les conditions aux limites. Dans cette thèse, nous proposons d'étudier des intégrateurs de type Runge-Kutta additifs implicites-explicites (ImEx) [6], dans lesquels l'erreur de couplage entre opérateurs est contrôlée. Le ou la doctorant(e) analysera une approche entièrement couplée reposant sur les méthodes de Runge-Kutta-Chebyshev à stabilité étendue (ROCK [7]) et leur version ImEx partitionnée PIROCK [8]. Une stratégie intermédiaire pourra être développée, combinant les atouts des deux approches : résolution couplée de la réaction et de la diffusion par une méthode ImEx, et traitement séparé de l'advection, afin de réduire le coût de calcul tout en conservant un contrôle d'erreur.

B- Contrôle de l'erreur en espace par multirésolution

En complément du contrôle des erreurs liées aux échelles de temps, principalement étudié jusqu'ici, il est essentiel de maîtriser les erreurs liées aux échelles d'espace, en particulier pour les schémas où temps et espace sont couplés. Dans un deuxième temps, les intégrateurs en temps seront donc portés dans un environnement de raffinement dynamique de maillage reposant sur la multirésolution adaptative, qui fournit un contrôle a priori de l'erreur. Cette technique, déjà employée avec des méthodes de séparation complète [9], a permis d'obtenir des solutions de référence hors d'atteinte sans contrôle des erreurs en temps et en espace. Le travail s'appuiera sur les bibliothèques open-source samurai [10] (maillages adaptatifs par multirésolution) et ponio [11] (intégrateurs en temps), développées par l'équipe HPC@Maths du CMAP. samurai repose sur une structure de données originale, fondée sur une algèbre d'intervalles, qui optimise les accès mémoire et ouvre la voie à des gains substantiels sur les architectures parallèles et hétérogènes (parallélisme de données et de tâches, GPU), au coeur des enjeux exascale du programme NumPEx. L'enjeu mathématique est ici de compresser la solution lorsque sa régularité le permet pour limiter la trace mémoire et le temps calcul mais surtout de garantir la précision de la solution pour chacun des opérateurs dans un contexte de volumes finis à différents ordres.

C- Galerkin discontinu, multi-ondelettes d'ordre élevé et adaptation hp

En complément de l'adaptation de maillage, qui agit sur le pas d'espace, la thèse visera également à agir sur l'ordre des approximations spatiales. Les méthodes de Galerkin discontinues (DG) sont particulièrement indiquées : elles combinent, de façon très locale, des approximations polynomiales d'ordre élevé, proches de la précision spectrale, avec le caractère conservatif des volumes finis. Leur nature locale leur confère en outre une grande efficacité parallèle sur machines à mémoire distribuée [12]. L'utilisation des méthodes DG dans un cadre de multirésolution nécessite toutefois le développement de multi-ondelettes [13, 14]. Ce volet fait partie intégrante de la thèse et fera l'objet d'un travail dédié : il portera sur la construction de schémas DG d'ordre élevé et des multi-ondelettes associées, adaptés aux EDP de réaction-diffusion-convection raides et multi-échelles, ainsi que sur leur couplage avec les intégrateurs ImEx.

Profil recherché
Master 2 ou diplôme d'ingénieur en mathématiques appliquées, calcul scientifique ou mécanique des fluides numérique. Des connaissances en analyse numérique des EDP et des équations différentielles raides sont attendues. Une bonne pratique de la programmation (C++ moderne de préférence) et un intérêt pour le calcul haute performance et la combustion seront appréciés.