Thèse Optimisation à Variables Mixtes Sous Contraintes et Usage de Qaoa Comme Échantilloneur Application à des Problèmes d'Engagement des Unités de Production H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Informatique et sciences du numérique École doctorale : Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication Laboratoire de recherche : Laboratoire Méthodes Formelles Direction de la thèse : Benoit VALIRON ORCID 0000000210085605 Début de la thèse : 2027-01-01 Date limite de candidature : 2026-12-31T23:59:59 Le projet incluant cette thèse de doctorat vise à développer des méthodes quantiques hybrides fondées sur le 'Quantum Approximate Optimization Algorithm' (QAOA), et appliquées à des problèmes d'optimisation mixte en nombres entiers rencontrés dans le secteur de l'énergie. Le cas d'application principal est le problème 'd'engagement des unités de production' (Unit Commitment, UC).

Au sein d'une installation de production, le problème d'UC consiste à déterminer, sur un horizon temporel donné, quelles unités de production d'électricité doivent être mises en service ou arrêtées, tout en optimisant simultanément leurs niveaux de production électrique. On a donc des variables discrète (en service/arrêté) et des variables continues représentant des mégawatts. L'objectif est de satisfaire une demande prévisionnelle ainsi qu'un ensemble de contraintes physiques et économiques. Dans le cas général, le problème d'UC est réputé difficile à résoudre avec des méthodes classiques.

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier comment le QAOA peut traiter efficacement la composante binaire du problème d'UC, non pas nécessairement comme un solveur autonome destiné à remplacer les approches classiques, mais plutôt comme un moteur probabiliste capable de générer des configurations binaires de haute qualité, en concentrant l'échantillonnage sur des solutions candidates prometteuses. Ces solutions candidates pourront ensuite être exploitées au sein de chaînes d'optimisation classiques. Cette approche est appelée 'QAOA en tant qu'échantillonneur'. La complexité des problèmes d'optimisation associés aux systèmes électriques augmente avec leur taille, avec le couplage des systèmes et avec la nécessité de disposer de stratégies de planification économiquement efficaces et opérationnellement robustes. En conséquence le passage à l'échelle est entravé dans diverses situations et la résolution de problèmes d'optimisation à grande échelle associé aux systèmes électriques reste un enjeu central.

Parmi les problèmes d'optimistion associés aux systèmes électriques, le problème de l'engagement des unités de production (Unit Commitment, UC) occupe une place particulièrement importante. Il consiste à déterminer, au sein d'une installation de production électrique et sur un horizon temporel donné, quelles unités de production d'électricité doivent être mises en marche ou arrêtées tout en optimisant simultanément leur puissance de production (si elles sont en marche) afin de satisfaire la demande prévisionnelle et en respectant les contraintes physiques et économiques du système. Ce problème impose donc des variables binaires (marche/arrêt) et continues (puissances électriques).

D'un point de vue mathématique, le problème UC est un problème d'optimisation sous contraintes en nombres entiers mixtes. Sa complexité peut augmenter rapidement avec le nombre de périodes temporelles T et le nombre d'unités de production N. Cette complexité est notamment due aux variables binaires, dont l'espace de recherche non contraint croît exponentiellement. Elle dépend également des interactions entre ces variables, liées aux contraintes du problème et à la fonction objectif. Les méthodes classiques, telles que le Branch and Bound, ont obtenu des résultats remarquables au fil des années. Cependant, elles peuvent rencontrer des difficultés dans certaines situations propres aux problèmes industriels de grande échelle.

L'informatique quantique propose un nouveau paradigme de calcul, dans lequel les structures combinatoires pourraient être explorées efficacement. Initialement conçu pour les architectures NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum), le QAOA est un algorithme variationnel quantique-classique. Il génère un circuit qui alterne un « Hamiltonien du problème » et un « Hamiltonien de mélange ». Cet algorithme a été largement étudié pour résoudre des problèmes impliquant des variables binaires et des fonctions de coût linéaires et/ou quadratiques.

La structure en variables mixtes du problème UC n'est pas directement adaptée aux formulations classiques du QAOA. Aussi, en pratique, l'intérêt du QAOA réside plutôt dans sa capacité à générer des distributions de probabilité concentrées sur des solutions binaires prometteuses que dans sa capacité théorique à trouver la solution exacte du problème d'optimisation (qui nécessiterait un ansatz très profond ou un grand nombre de répétitions). Ces solutions peuvent ensuite être exploitées par des solveurs classiques. Cette approche est appelée 'QAOA en tant qu'échantillonneur' (QAOA as a sampler) [1]. L'objectif de cette thèse est de s'appuyer sur le principe du ``QAOA en tant qu'échantillonneur'', déjà exploité chez TotalEnergie, afin d'intégrer des contraintes strictes et des solutions initiales (warm starts), notamment à travers l'Hamiltonien de mélange (Mixer Hamiltonian).
Plusieurs aspects de ces approches restent des questions ouvertes, avec des applications aux contraintes spécifiques du problème UC.

Une attention particulière sera accordée à l'amélioration des décompositions mathématiques rigoureuses du problème UC. L'objectif sera de faciliter un encodage quantique plus efficace des contraintes strictes, notamment à l'aide d'une décomposition fondée sur la méthode de Lagrange. D'autres axes de recherche pourront également être explorés en fonction des résultats obtenus. Ils pourront notamment porter sur les stratégies de transfert des paramètres entre différentes instances du problème, l'étude théorique de la propriété de « concentration » qui semble inhérente au QAOA, ainsi que l'évaluation de l'impact du bruit des véritables processeurs quantiques sur la qualité des solutions obtenues. Le déroulé de la thèse s'articulera sur 3 phases.

(1) Décomposition du problème et première implémentation via QAOA. Un premier tests d'encodage de contrainte dure UC dans le Mixer pourra être effectué en s'appuyant par exemple sur les techniques de mixeurs LX [2] ou à base de commutateurs [3]. On vise pour cette phase la description des différentes parties du circuit quantique, sur une taille compatible avec de la simulation sur supercalculateur. Une première campagne d'expérimentation par simulation aura lieu à la fin de cette première phase.

(2) Synthèse et optimisation du circuit. Dans un deuxième temps, on caractérisera de manière fine la structure des différents blocs composant le circuit. En s'appuyant sur des techniques de synthèse et de compilation, l'objectif sera d'obtenir un circuit complet, susceptible d'être exécuté sur une machine quantique. La mise en route de cette deuxième phase sera adaptée au lancement complémentaire d'un stage de M2, par exemple issu de la formation QMI (commune à l'ensemble du plateau de Saclay). Une évolution des techniques de mixeurs LX ou à base de commutateurs sera étudiée et testée selon les problématiques qui auront été identifiées, dans une seconde campagne d'expérimentation en simulation et en partie sur de vrais processeurs quantiques.

(3) Aspect HPC. Dans un troisième temps, on étudiera les possibilités d'implémentation optimisée au niveau machine: parallélisation des calculs au sein d'un même processeur quantique par réplication de circuits traitant différentes données, par distribution des calculs sur plusieurs processeurs quantiques, par analyse de diverses hybridations classique-quantique, etc. L'objectif de cette dernière phase est l'étude de la faisabilité en pratique de l'approche. Elle se fera sur le matériel qui existera et sera accessible dans la dernière année de la thèse, à travers une campagne d'expérimentation à plus large échelle que les précédentes, et qui mènera à des analyses détaillées de la qualité des résultats et des temps de calculs nécessaires.

Chacune de ces phases est susceptible de donner lieu à publication.

Niveau M2, informatique et/ou physique, avec une expérience en calcul quantique.