Thèse Analyse et Régulation de Systèmes Multi-Agents sur des Réseaux avec Retards H/F - Doctorat.Gouv.Fr

Établissement : Université Paris-Saclay GS Mathématiques École doctorale : Mathématiques Hadamard Laboratoire de recherche : FDM - Fédération de Mathématiques - FR CNRS 3487 Direction de la thèse : Guilherme MAZANTI ORCID 0000000291970277 Début de la thèse : 2027-10-01 Date limite de candidature : 2026-11-06T23:59:59 Les systèmes multi-agents (SMA), constitués d'agents autonomes qui coopèrent via un réseau de communication, interviennent en robotique, dans les véhicules autonomes, les essaims de drones ou les réseaux électriques intelligents. Un problème central est le consensus, où tous les agents convergent vers un état commun. En pratique, les échanges d'information sont soumis à des retards, souvent hétérogènes et variables, qui dégradent les performances et peuvent déstabiliser le système. Les modèles des agents contiennent en plus des incertitudes paramétriques, et chaque agent ne dispose que d'une information locale, ce qui demande des lois de contrôle décentralisées.

Ce projet vise à développer un cadre de conception de lois de contrôle conduisant un SMA sur réseau au consensus en présence de retards de communication, d'incertitudes paramétriques et d'information limitée. Il s'articule autour de trois axes.

Le premier concerne les SMA linéaires en temps discret avec retards et incertitudes bornées en norme ou polytopiques. On cherchera un régulateur robuste et décentralisé, obtenu par un problème de contrôle optimal de type LQR avec formulation minimax, la dynamique étant imposée par une fonction de pénalité. Cette approche conduit à une solution récursive par équations de Riccati, sans inégalités matricielles linéaires. La difficulté principale est le traitement des termes de retard, en préservant la structure décentralisée et en maîtrisant la dimension du problème lorsque le retard maximal croît.

Le deuxième axe reformule le problème dans un cadre de jeux dynamiques : chaque agent résout son propre problème d'optimisation, avec un coût dépendant de son état, de sa commande et de ceux de ses voisins. La décentralisation devient ainsi naturelle. On étudiera l'existence, l'unicité et la stabilité de l'équilibre, d'abord pour la dynamique nominale, puis avec retards, incertitudes et leur combinaison, avec une comparaison à l'approche globale.

Le troisième axe passe au temps continu, à travers des équations aux différences à retards arbitraires non commensurables, modèle mieux adapté à la forte sensibilité des systèmes à retards vis-à-vis des perturbations des retards. On caractérisera d'abord le consensus du système non commandé, propriété de stabilité par rapport à un sous-espace, puis on proposera des stratégies de rétroaction garantissant le consensus, par construction directe et par contrôle optimal en temps continu.

Les résultats attendus sont des conditions sur la topologie du réseau et sur les retards garantissant le consensus, des régulateurs robustes décentralisés calculables, et une comparaison entre approches globale et par jeux. Les systèmes multi-agents sont étudiés intensivement non seulement pour ses applications au contrôle coopératif (essaims de drones, pelotons de véhicules, robots) mais aussi à cause de nombreuses questions d'intérêt mathématique soulevé par cette analyse. Les retards de communication, inévitables, peuvent détériorer ou détruire le consensus, et le comportement des systèmes à retards est très sensible aux perturbations des retards, ce qui motive les modèles en temps continu. Les approches robustes existantes reposent souvent sur des inégalités matricielles linéaires ; l'approche récursive par équations de Riccati a été appliquée sans retards, et le traitement des retards constitue la nouveauté. Concevoir des lois de contrôle décentralisées conduisant au consensus un système multi-agents soumis à des retards de communication, des incertitudes paramétriques et une information locale. Trois objectifs : (1) un régulateur robuste récursif en temps discret pour systèmes avec retards et incertitudes ; (2) une reformulation en théorie des jeux où chaque agent optimise un coût local ; (3) une caractérisation du consensus en temps continu avec retards arbitraires et des stratégies de rétroaction associées. Contrôle optimal de type LQR avec formulation minimax et fonction de pénalité, menant à des récursions de Riccati, avec augmentation d'état pour les retards et préservation de la structure décentralisée. Analyse du consensus par régions de consensus et théorie des graphes. Formulation en jeux dynamiques et analyse des équilibres de Nash. En temps continu, analyse spectrale et théorie de la stabilité des équations aux différences à retards, puis contrôle optimal en dimension infinie. Validation par simulations numériques.

Master (ou équivalent) en théorie du contrôle, mathématiques appliquées ou génie électrique. Solides bases en contrôle (contrôle optimal, systèmes linéaires), algèbre linéaire et analyse. Des connaissances en théorie des graphes, systèmes à retards ou théorie des jeux sont appréciées. Maîtrise d'un langage de calcul scientifique (MATLAB, Python ou Julia), bon niveau d'anglais, goût pour la recherche théorique et mobilité internationale (France/Brésil).